martes, 7 de abril de 2015

Problema 59

Encuentra un número capicúa de seis cifras, sabiendo que cumple las condiciones siguientes:
-Es múltiplo de 8.

-El producto de todas sus cifras es 44100.


Solución:

Si tiene seis cifras y es capicúa, será de la forma abccba.
El producto de sus cifras es a·b·c·c·b·a = 
= a2·b2·c2 = (a·b·c)2.
Por tanto, sabemos que (a·b·c)2 = 44100 = 2102 y, entonces, se cumple que a·b·c = 210 = 2·3·5·7. Como a, b y c son números de una cifra, necesariamente uno de ellos ha de ser 6, otro 5 y el que queda 7.

Como el número de seis cifras es múltiplo de 8, debe ser par. Así, ha de terminar en 6 (ya que 5 y 7 son impares) y esto hace necesario que a =6.

De esta forma, solo quedan dos opciones posibles: que el número sea el 657756 o el 675576. Pero es fácil comprobar que el primero de ellos no es divisible por 8 mientras que sí lo es el segundo.

Así, el número buscado es el 675576.

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