Problema 59

Encuentra un número capicúa de seis cifras, sabiendo que cumple las condiciones siguientes:

-Es múltiplo de 8.

-El producto de todas sus cifras es 44100.

Solución:

Si tiene seis cifras y es capicúa, será de la forma abccba.

El producto de sus cifras es a·b·c·c·b·a = 

= a²·b²·c² = (a·b·c)².

Por tanto, sabemos que (a·b·c)² = 44100 = 210² y, entonces, se cumple que a·b·c = 210 = 2·3·5·7. Como a, b y c son números de una cifra, necesariamente uno de ellos ha de ser 6, otro 5 y el que queda 7.

Como el número de seis cifras es múltiplo de 8, debe ser par. Así, ha de terminar en 6 (ya que 5 y 7 son impares) y esto hace necesario que a =6.

De esta forma, solo quedan dos opciones posibles: que el número sea el 657756 o el 675576. Pero es fácil comprobar que el primero de ellos no es divisible por 8 mientras que sí lo es el segundo.

Así, el número buscado es el 675576.