Problema 7

Para una actividad con alumnos de 1º de ESO en un instituto, hay que organizarlos en pequeños equipos. El número de alumnos de este nivel está comprendido entre 100 y 120. Si se les agrupa de 5 en 5, sobran dos; si se les agrupa de 2 en 2, sobra uno; pero si se les agrupa de 3 en 3 no sobra ninguno. ¿Cuántos son los alumnos?

Solución:

El número ha de tener tres cifras y la primera es el 1. Un múltiplo de 5 acaba en 5 o 0, y como si se agrupan de cinco en cinco sobran dos, se deduce que el número ha de terminar en 7 o 2.

Pero, si terminase en 2, sería par y al agrupar los participantes de 2 en 2 no sobraría ninguno. Por tanto, el número debe terminar en 7. Ya tenemos que ha de ser de la forma  1a7.

Como debe ser múltiplo de 3, sus cifras han de sumar un múltiplo de 3. Para que eso ocurra, a debe valer 1 (1+1+7=9), 4 (1+4+7=12) o 7 (1+7+7=15). Pero sólo en el primero de estos casos el número está comprendido entre 100 y 120.

Así, hay 117 alumnos de 1º de ESO.