Problema 50

Un pequeño comerciante ha gastado 200 € al comprar piezas de miniaturas de 2 €, 8 € y 24 €. Si ha comprado en total 40 piezas, ¿cuántas son de cada precio?

Solución:

Sean a, b y c las piezas de 2€, 8€ y 24€, respectivamente.

Sabemos que a + b + c = 40. Y teniendo en cuenta que ha gastado 200 €, también podemos asegurar que 2a + 8b + 24c = 200.

Así, tenemos el sistema de ecuaciones siguiente:

a + b + c = 40

2a + 8b + 24c = 200

Si multiplicamos por -2 la primera ecuación y después sumamos las dos ecuaciones obtenemos que 6b + 22c = 120. Despejamos b:

Como b y c son números naturales, 60 – 11c debe ser múltiplo de 3 y, como 60 es múltiplo de 3, también debe serlo 11c. Pero esto solo ocurre cuando c es 3.

Y en ese caso, sustituyendo en la expresión anterior de b, se deduce que b es 9. Como el total de piezas es 40, concluimos que a es 28.

Así, ha comprado 28, 9 y 3 piezas de 2€, 8€ y 24€, respectivamente.