Ejercicios resueltos de ecuaciones de segundo grado.

1.Resuelve la ecuación siguiente:

2 x² – 26 x + 72 = 0

Solución:

Observamos que todos los coeficientes son múltiplos de 2, por lo que podemos simplificar la ecuación dividiendo por este número todos sus términos, y obtenemos la ecuación equivalente siguiente:

 x² – 13 x + 36 = 0

Al tratarse de una ecuación completa, utilizamos la fórmula general de resolución:

Luego, las soluciones de la ecuación dada son x₁ = (13 + 5)/2 = 9  y x₂ = (13 – 5)/2 = 4.

2.Resuelve la ecuación siguiente:

 3 x² – 24 x + 48 = 0

Solución:

Observamos que todos los coeficientes son múltiplos de 3, por lo que podemos simplificar la ecuación dividiendo por este número todos sus términos, y obtenemos la ecuación equivalente siguiente:

 x² – 8 x + 16 = 0

Como se trata de una ecuación completa, utilizamos la fórmula general de resolución:

Por tanto, las soluciones de la ecuación dada son x₁ =(8 + 0)/2 = 4  y x₂ = (8 – 0)/2 = 4. Es decir, la ecuación dada tiene una única solución doble.

3.Resuelve la ecuación siguiente:

 - 4 x² - 28 x - 40 = 0

Solución:

Observamos que todos los coeficientes son múltiplos de - 4, por lo que podemos simplificar la ecuación dividiendo por este número todos sus términos, y obtenemos la ecuación equivalente siguiente:

 x² + 7 x + 10 = 0

Como se trata de una ecuación completa, utilizamos la fórmula general de resolución:

Así, las soluciones de la ecuación dada son x₁ = (- 7 + 3)/2 = - 2  y x₂ = (- 7 – 3)/2 = - 5.

4.Resuelve la ecuación siguiente:

 3 x² - 27 = 0

Solución:

Observamos que todos los coeficientes son múltiplos de 3, por lo que podemos simplificar la ecuación dividiendo por este número todos sus términos, y obtenemos la ecuación equivalente siguiente:

 x² – 9 = 0

Se trata de una ecuación incompleta que no tiene término de primer grado por lo que, para resolverla, basta con despejar la incógnita:

Así, las soluciones de la ecuación dada son las raíces cuadradas de 9, es decir, x₁ = 3 y x₂ = - 3.

5.Resuelve la ecuación siguiente:

  7 x² – 35 x = 0

Solución:

Observamos que todos los coeficientes son múltiplos de 7, por lo que podemos simplificar la ecuación dividiendo por este número todos sus términos, y obtenemos la ecuación equivalente siguiente:

 x² – 5 x = 0

Se trata de una ecuación incompleta que no tiene término independiente por lo que para resolverla nos basta con extraer la incógnita como factor común:

x·(x – 5) = 0

Para que este producto sea nulo, o bien x = 0, o bien x – 5 = 0.

Así, las soluciones de la ecuación dada son x₁ = 0 y x₂ = 5.

6.Resuelve la ecuación siguiente:

  x² – 12 x + 40 = 12 x – 2 x² - 8

Solución:

Aplicamos las transformaciones de equivalencia para conseguir que el segundo miembro de la ecuación sea igual a cero:

x² – 12x + 40 – 12x + 2x² + 8 = 12x – 2x² – 8 – 12x + 2x² + 8

3 x² – 24 x + 48 = 0

Dividimos todos los términos por 3 para simplificar la ecuación:

x² – 8 x + 16 = 0

Como se trata de una ecuación completa, utilizamos la fórmula general de resolución:

Por tanto, las soluciones de la ecuación dada son x₁ =(8 + 0)/2 = 4  y x₂ = (8 – 0)/2 = 4. Es decir, la ecuación dada tiene una única solución doble.

7.Resuelve la ecuación siguiente:

 6 x² + 7 x - 75 = x² + 7 x + 5

Solución:

Aplicamos las transformaciones de equivalencia para conseguir que el segundo miembro de la ecuación sea igual a cero:

6 x² + 7 x - 75 – x² – 7 x – 5 = x² + 7 x + 5 – x² – 7 x – 5

5 x² - 80 = 0

Dividimos todos los términos de la ecuación por 5 para simplificarla:

 x² – 16 = 0

Se trata de una ecuación incompleta que no tiene término de primer grado por lo que para resolverla nos basta con despejar la incógnita:

Así, las soluciones de la ecuación dada son las raíces cuadradas de 16, es decir, x₁ = 4 y x₂ = - 4.

8. Resuelve la siguiente ecuación:

Solución:

En primer lugar, para quitar los denominadores, reducimos todos los términos de la ecuación a común denominador, utilizando el mínimo común múltiplo de los denominadores, que en esta ocasión es 6:

Multiplicando toda la ecuación por 6 se simplifican los denominadores y obtenemos que es equivalente a la ecuación dada la siguiente:

x² + 18 – 2x = 11 x – 18

Utilizamos las transformaciones de equivalencia para conseguir que el segundo miembro de la ecuación sea cero:

x² + 18 – 2x – 11 x + 18 = 11 x – 18 – 11 x + 18

x² – 13 x + 36 = 0

Como se trata de una ecuación completa, utilizamos la fórmula general de resolución:

Luego, las soluciones de la ecuación dada son x₁ = (13 + 5)/2 = 9  y x₂ = (13 – 5)/2 = 4.

9. Encuentra los valores de m para los que la siguiente ecuación tiene una solución doble:

4 x² + m x + 36 = 0

Solución:

En una ecuación de la forma a x² + b x + c = 0 su discriminante es el valor b² – 4 a c. Y para que dicha ecuación tenga una solución doble, este discriminante ha de ser nulo.

El discriminante de la ecuación 4 x² + m x + 36 = 0 es:

m² – 4·4·36

Por tanto, ha de cumplirse que:

m² – 576 = 0

m² = 576

Así, los valores de m que lo cumplen son las raíces cuadradas de 576, es decir, que m puede tomar los valores 24 y – 24.