Problema 45

Tenemos un número capicúa de cuatro cifras tal que si multiplico sus cifras obtengo un número una unidad mayor que el que obtengo si las sumo. Además, la primera cifra del número es dos unidades mayor que la segunda cifra. ¿De qué número se trata?

Solución:

El número será de la forma abba.

Debe cumplirse que a·b·b·a = a+b+b+a+1

Así, a² b² = 2a+2b+1; es decir, a² b² - 2a - 2b = 1.

Pero también sabemos que b = a -2, y si sustituimos esta expresión en la ecuación anterior tenemos que:

a²(a-2)² – 2a – 2(a-2) = 1 ⟺ a²(a²+4-4a)- 2a -2a +4 = 1

Simplificando, obtenemos que a⁴ – 4 a³ + 4 a² – 4 a + 3 = 0

Descomponiendo el polinomio en producto de factores, resulta que:

(a – 3)(a – 1)(a² + 1) = 0

Las soluciones reales de esta ecuación son a=3 y a=1, pero la última no es válida en nuestro problema pues b resultaría negativo. Luego a=3 y b= a – 2 = 1.

Así, el número buscado es 3113.