Problema 142

Se tiene un número de tres cifras distintas comprendido entre 600 y 700. Si le quitamos la cifra de las unidades, la de las decenas y la de las centenas, obtenemos, respectivamente, tres números de dos cifras.

La suma de estos tres números es 12 unidades menor que la tercera parte del número de tres cifras dado inicialmente.

¿Cuál es dicho número inicial?

Solución:

Sea abc el número que buscamos.

Al estar comprendido entre 600 y 700, necesariamente debe cumplirse que a = 6 (si fuese a = 7, las otras dos cifras deberían ser cero y el número no tendría las tres cifras distintas).

Por tanto, el número es de la forma 6bc y los números de dos cifras que se obtienen son 6b, 6c y bc.

Según el enunciado del problema, se cumple la relación siguiente:

(6b + 6c + bc) + 12 = (6bc)/3

Entonces, desarrollando esta expresión, tenemos que:

6·10 + b + 6·10 + c + b·10 + c + 12 = (6·100 + b·10 + c)/3

(60 + b + 60 + c + 10b + c + 12)·3 = 600 + 10b + c

(11b + 2c + 132)·3 = 600 + 10b + c

33b + 6c + 396 = 600 + 10b + c

23b + 5c = 204

Despejamos c:

c = (204 – 23b)/5

Estudiamos los casos posibles, teniendo en cuenta que b y c son dígitos comprendidos entre 0 y 9:

Si b = 0, entonces c = 205/5, lo que es imposible.

Si b = 1, entonces c = 181/5, lo que es imposible.

Si b = 2, entonces c = 158/5, lo que es imposible.

Si b = 3, entonces c = 135/5 = 27, lo que es imposible.

Si b = 4, entonces c = 112/5, lo que es imposible.

Si b = 5, entonces c = 89/5, lo que es imposible.

Si b = 6, entonces c = 66/5, lo que es imposible.

Si b = 7, entonces c = 43/5, lo que es imposible.

Si b = 8, entonces c = 20/5 = 4.

Si b = 9, entonces c = - 3/5, lo que es imposible.

Se observa que el único caso posible es que b = 8 y c = 4.

Así, el número buscado es el 684.