Problema 119

Un grupo de amigos han participado en un concurso y han recibido un premio en monedas de 1 euro. A la hora de repartir el premio, pueden hacerlo en partes exactamente iguales pero, si hubiese habido un amigo más en el grupo, habrían sobrado 5 monedas pero cada uno de ellos habría recibido 5 euros menos. Y si en el grupo hubiese uno menos, a cada uno le hubieran correspondido 6 euros más y sobraría una moneda.

¿Cuántos amigos forman el grupo?

¿Cuánto dinero ha recibido cada uno de ellos?

Solución:

Llamamos x al número de amigos que componen el grupo, n al número de euros que han correspondido a cada uno de ellos y m al número de monedas de 1 euro que componen el premio.

Tenemos, según el enunciado del problema, que se cumplen las condiciones siguientes:

m = x · n

m = (x + 1)·(n – 5) + 5

m = (x – 1)·(n + 6) + 1

Sustituyendo la expresión de m de la primera ecuación en las ecuaciones segunda y tercera, obtenemos:

x·n = x·n – 5x + n - 5 + 5; 5x = n; x = n/5

x·n = x·n + 6x – n - 6 + 1; 6x = n – 5; x = (n – 5)/6

Igualamos las dos expresiones de x:

Entonces, x = 25/5 = 5.

Así, el grupo está formado por cinco amigos y cada uno de ellos ha recibido 25 euros.