Problema 28

El primer dígito de un número de seis cifras es 1. Si este 1 se mueve al otro extremo (a la derecha, convirtiéndose en la cifra de las unidades) y se mantiene el orden del resto de cifras, el nuevo número es tres veces el primero. ¿Cuál es el número original?

Solución:

Supongamos que el número es 1abcde, donde cada letra representa un dígito. Al hacer el cambio indicado, se convertiría en abcde1.

Debe cumplirse que:   1abcde·3 = abcde1

Se deduce que e=7, ya que es el único dígito que multiplicado por 3 acaba en 1.

Luego: 1abcd7·3 = abcd71

Si seguimos multiplicando, se observa que 3·d+2 acaba en 7, luego 3·d acaba en 5, de donde d = 5.

Por tanto: 1abc57·3 = abc571

Se sigue que 3·c +1 acaba en 5, luego 3·c acaba en 4, y así c = 8.

Así: 1ab857·3 = ab8571

Se observa del mismo modo que 3·b+2 acaba en 8, luego 3·b acaba en 6, de donde b = 2.

Luego: 1a2857·3 = a28571

Y, para terminar, observamos que 3·a  acaba en 2, de donde a = 4.

Y, efectivamente: 142857 · 3 = 428571

Así, el número buscado es el 142857.