Optimización

Se quiere vallar una parcela rectangular que está junto a un camino. Si la valla del lado del camino cuesta a 80 €/m y la de los otros lados a 10 €/m, halla el área de la mayor parcela rectangular que puede cercarse con 28800 euros. 

Solución:

Sea x la longitud del lado del camino e y la del otro lado.

La relación entre las variables es:

80x+10x+2·10y = 90x + 20y = 28.800

9x+2y= 2880 ⇒ y = 1440 – 4´5x

La función área que vamos a optimizar es:

A(x,y) = x·y⇒ A(x) = x·(1440 – 4´5x) = 1440x – 4´5x²

Derivamos: A´(x) = 1440 – 9x

Igualamos a cero: A´(x)=0 ⇒ 1440 – 9x = 0 ⇒ x = 160 posible máximo o mínimo

Hallamos la segunda derivada: A´´(x) = - 9

Como A´´(160) = -9 < 0 , en x = 160 se alcanza un máximo.

Si x = 160 ⇒ y = 1440 – 4´5·160 = 720

El área de la mayor parcela que se puede cercar con 28800 € es A(160,720) = = 115.200 m².