Aplicación de derivadas

De la función f(x) = x² + ax + b, sabemos que tiene un mínimo en el punto de abscisa x = 2 y que su gráfica pasa por el punto (2, 2). ¿Cuánto vale la función en x = -1?

Solución:

Como el punto (2, 2) pertenece a la gráfica de f(x) cumple que: 

f(2) = 2 Þ 4 + 2a + b = 2 Þ 2a + b = - 2

Al tener un mínimo en x = 2, se cumple que  f ´(2) = 0, luego:

f´(2) = 0 Þ 4 + a = 0 Þ a = - 4

Sustituyendo el valor de a en la ecuación anterior tenemos:

2a + b = - 2 Þ b = - 2 – 2a Þ b = - 2 + 8 = 6

Por lo tanto, la función es:

f(x) = x² - 4x + 6

Y en x = - 1 la función toma el valor siguiente:

f(- 1) = (- 1)² – 4 (- 1) + 6 = 1 + 4 + 6 = 11