Problema 138

Se tiene un número de tres cifras. Si el 3 que contiene se cambia por un 7, y el 7 que contiene se cambia por un 5, la mitad del número que resulta es 3 unidades mayor que el número inicial.

¿Cuál es ese número inicial?

Solución:

El número nuevo, que será de tres cifras, contiene un 7 y un 5. Para que su mitad sea un número entero, ha de ser par y, por tanto, su última cifra también tiene que ser par.

Así, el número nuevo ha de ser de la forma 75a o de la forma 57a.

Entonces, el número inicial sería 37a o 73a.

-El caso 73a se descarta, ya que la mitad de 57a nunca podría empezar por 7.

-En el caso 37a, debe cumplirse que la mitad de 75a sea igual a 37a más 3 unidades. Es decir:

a + 5·10 + 7·100 = 2·(a + 7·10 + 3·100 + 3)

750 + a = 2·(373 + a)

750 + a = 746 + 2a

750 – 746 = a

a = 4

Por tanto, el número inicial es el 374.