Problema 46

Si n es un número natural tal que 2n+1 es un cuadrado perfecto, demuestra que el número n+1 se puede expresar como suma de los cuadrados de dos números consecutivos.

Solución: 

Como 2n+1 es un cuadrado perfecto existirá un número x tal que 2n+1 = x². Pero como 2n+1 es impar, también debe ser impar el número x. Luego existe algún número natural p tal que x=2p+1.

Entonces 2n+1 = (2p+1)². Y despejamos n en esta expresión:

2n+1 = 4p²+1+4p ⟺ 2n = 4p²+4p ⟺ n = 2p²+2p

Así,si sumamos 1 enlos dos miembros, obtenemos que:

n+1 = 2p²+2p+1 = p²+p²+2p+1 = p²+ (p+1)²

Es decir, que n+1 es la suma de los cuadrados de p y p+1, como se quería demostrar.