Aplicación de derivadas

Halla los valores de b, c y d para que la función f(x) tenga un máximo en el punto de abscisa  x = - 4, un mínimo en el punto de abscisa x = 2 y para que tome el valor 1 en x = 1.

f(x) = x³ + bx² + cx + d

Solución:

Como la función tiene un máximo en el punto de abscisa  x = - 4 y un mínimo en el punto de abscisa x = 0, verifica que:

f´(- 4) = 0  y   f´(0) = 0

La derivada es f´(x) = 3 x² + 2bx + c, luego:

f´(2)= 3·2² + 2b·2 + c = 0 ; 12 + 4b + c = 0 ; 4b + c = - 12

f´(- 4)= 3·(- 4)² +2b·(- 4) + c = 48 – 8b + c = 0 ; - 8b + c = - 48

Con estas dos ecuaciones formamos el sistema siguiente y lo resolvemos:

Restándole a la primera ecuación la segunda obtenemos:

12 b = 36 ; b = 3

Sustituyendo este valor de b en la primera ecuación:

4 · 3 + c = - 12 ; c = - 24

Con los valores hallados de b y c, calculamos ahora el valor de d, teniendo en cuenta la condición f(1) = 1.

Al ser f (1) = 1 ; f(1) = 1 + 3 · 1 – 24 · 1 + d = 1 ;  d = 21

Así, la función buscada es: f(x) = x³ + 3 x² – 24 x + 21