Poliedros regulares en la construcción.

La Geometría ha sido desde tiempos inmemorables un pilar básico en la Construcción y ambas, Geometría y Construcción, han ido avanzando en el tiempo, a veces de una forma paralela.

Con las tendencias modernas de la Arquitectura se han construido edificios fascinantes basados en cuerpos geométricos en los que predominan las líneas rectas, cuyo diseño se basa en los poliedros regulares.

Un poliedro regular es un sólido cuyas caras son polígonos regulares, todas ellas iguales, y de forma que en cada vértice del poliedro siempre concurren el mismo número de aristas.

Estos poliedros son cinco: cubo o hexaedro, tetraedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

Sobre cuatro de ellos, cubo, tetraedro, octaedro e icosaedro, Platón opinaba que eran los átomos de los cuatro elementos (tierra, fuego, aire y agua, respectivamente).

El cubo o hexaedro está formado por seis caras que son cuadrados, tiene ocho vértices y doce aristas.

El desarrollo en el plano de este poliedro es el siguiente:

Su área y su volumen podemos calcularlos mediante las fórmulas siguientes, en las que a representa la longitud de su arista:

La presencia de este poliedro en construcciones arquitectónicas es muy numerosa. Así, las casas cubo o kubuswoning en Rotterdam, diseñadas por el arquitecto Piet Blom, el edificio cubo en Valladolid o el pabellón Wukesong Arena de Beijing, sede del baloncesto olímpico de Pekín.

Kubuswoning en Rotterdam

Edificio Cubo en Valladolid

Wukensong Arena en Beijing

El tetraedro está formado por cuatro triángulos equiláteros, tiene cuatro vértices y seis aristas.

El desarrollo en el plano de este poliedro es:

Su área y su volumen podemos calcularlos mediante las fórmulas siguientes, en las que a representa la longitud de su arista:

Un edificio que utiliza este poliedro es la Capilla de los Cadetes en Colorado, diseñada por Walter Netsch, compuesta por diecisiete torres y el marco principal en forma de tetraedro. De igual manera, tiene forma de tetraedro el Recinto Ferial de Pontevedra, obra del arquitecto Manuel de las Casas. Y en la Estación Central de Autobuses de Zaragoza, proyectada por Carlos Ferrater, José María Valero y Félix Arranz, la cubierta está formada por tetraedros que captan la luz.

Capilla de los Cadetes en Colorado

El octaedro está formado por ocho triángulos equiláteros, tiene seis vértices y doce aristas.

El desarrollo en el plano de este poliedro es:

Su área y su volumen podemos calcularlos mediante las fórmulas siguientes, en las que a representa la longitud de su arista:

Un edificio emblemático con forma de octaedro es el que se encuentra en el patio del Museo del Louvre (la pirámide exterior junto con su invertida hacia abajo), diseñado por el arquitecto Ieoh Ming Pei.

Patio del Museo del Louvre

El dodecaedro es el poliedro compuesto por doce pentágonos regulares, con veinte vértices y treinta aristas.

El desarrollo en el plano de este poliedro es:

Su área y su volumen podemos calcularlos mediante las fórmulas siguientes, en las que a representa la longitud de su arista y ap representa la longitud de la apotema de cada una de sus caras:

Basado en este poliedro regular podemos ver el Dodecaedro Carbonera de Madrid, depósito de carbón diseñado por el ingeniero Eduardo Torroja, y la casa Poliedro en Bogotá, del arquitecto Manuel Villa.

Dodecaedro Carbonera en Madrid

Casa Poliedro en Bogotá

El icosaedro está formado por veinte triángulos equiláteros, y tiene doce vértices y treinta aristas.

El desarrollo en el plano de este poliedro es:

Su área y su volumen podemos calcularlos mediante las fórmulas siguientes, en las que a representa la longitud de su arista:

Basada en el icosaedro para su diseño, encontramos la Central Hidroeléctrica de Jaca.

Central Hidroeléctrica en Jaca

Tras este pequeño recorrido por construcciones inspiradas en la geometría de los poliedros regulares, estoy convencida de que hay muchas más que los utilizan. Sólo debemos fijarnos en el entorno cuando hacemos turismo e intentar localizar en él la belleza de las Matemáticas.

Si te interesa leer sobre curvas y superficies presentes en la Construcción, pincha en el enlace siguiente:

http://miblogssiempremaths.blogspot.com.es/2015/06/geometria-y-construccion_22.html

Poliedros regulares.

Los cinco poliedros regulares son los que tienes en la siguiente tabla. Sabiendo su composición, completa la tabla:

a)Con los datos obtenidos al completar la tabla, ¿podrías encontrar alguna relación entre el número de caras, el número de vértices y el número de aristas?

b)Comprueba si se cumple o no la relación anterior para un prisma hexagonal, un prisma triangular, una pirámide cuadrangular y un ortoedro o paralelepípedo rectangular.

c)Si hacemos un desarrollo de los poliedros obtenemos la representación de todas sus caras en el plano. ¿Podrías decir a qué poliedro regular corresponden los desarrollos que tienes a continuación? 

Solución:

La tabla queda completa de la forma siguiente:

a)Se observa que la relación que existe es:

nº de caras + nº de vértices = nº de aristas + 2

Esta relación se conoce como fórmula de Euler para poliedros.

b)Formando una tabla como la anterior pero con prisma hexagonal, prisma triangular, pirámide cuadrangular y ortoedro o paralelepípedo rectangular, se puede comprobar que se cumple la relación en dichos poliedros.

c)Los desarrollos corresponden a:

1) Tetraedro   

2) Cubo  

3) Octaedro    

4) No corresponde a ninguno, ya que cuatro cuadrados no forman nunca el vértice de un poliedro.

Actividad con mosaicos.

Para construir un mosaico, hemos diseñado la loseta siguiente:

Y aplicando una serie de movimientos a la loseta antes de unirla a otra, obtenemos el siguiente mosaico.

Encuentra los movimientos que se han aplicado a la loseta originaria del mosaico.

Solución:

A la loseta que origina el mosaico se le aplica una simetría, siendo su eje el lado izquierdo de la loseta, con lo que conseguimos la figura siguiente:

Una vez que hemos construido la primera fila con varias losetas, la segunda fila la obtenemos repitiendo la primera fila y aplicándole una simetría de eje el lado inferior como se ve en la siguiente figura:

Si quieres leer más sobre la formación de mosaicos, pincha en los siguientes enlaces:

http://miblogssiempremaths.blogspot.com.es/2015/04/aplicacion-de-geometria-mosaicos.html

http://miblogssiempremaths.blogspot.com.es/2015/04/mosaicos-con-losetas-cuadradas.html

Estrategia 4 para resolver problemas.

Lo fundamental de esta estrategia, llamada de ensayo y error, es experimentar. Sometiendo los datos del problema a diversos ensayos encontraremos diferencias y propiedades que se repiten, regularidades a partir de las cuales seremos capaces de obtener conclusiones que nos llevarán a la solución del problema.

Un ejemplo de aplicación es el que se muestra en el siguiente problema:

Escribe el número 12345679, formado por todos los dígitos del 1 al 9, a excepción del 8. Multiplica este número por un solo dígito cualquiera. El resultado obtenido en el producto, multiplícalo ahora por 9. ¿Qué ocurre? Comprueba que ocurre lo mismo con otros dígitos. ¿Por qué sucede esto?

Nos disponemos a efectuar el primer experimento, y para ello elegimos un dígito, por ejemplo, el 4.

Lo que ocurre es que el resultado está formado por nueve dígitos iguales a 4.

Experimentemos con otro número, por ejemplo el 6.

De nuevo, el resultado está formado por nueve dígitos iguales (a 6 en este caso).

Si seguimos experimentando con otros números vemos que ocurre lo mismo.

-¿Qué diferencias hay en cada caso?

El resultado, que está formado cada vez por el dígito por el que se multiplica el primer número.

-¿Qué hay en común?

El número formado por los dígitos del 1 al 9 (a excepción del 8) y por el hecho de que en segundo lugar se multiplica siempre por 9.

Estudiemos pues estos factores comunes.

Como la multiplicación de los números naturales cumple la propiedad conmutativa, será igual multiplicar primero por 4 y después por 9, que hacerlo en orden inverso (primero por 9 y luego por 4). También con el resto de los números.

Veamos pues que ocurrirá si multiplicásemos en primer lugar por 9.

¡Qué curioso!. No es necesario seguir, pues aquí tenemos ya la solución al problema.

Otro ejemplo de aplicación de esta estrategia lo encontraremos en el siguiente problema:

Dibuja un cuadrado formado por nueve casillas iguales y coloca en ellas los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, de forma que la suma de los situados en sentido horizontal, la de los situados verticalmente y las de los situados diagonalmente sean iguales.

Resulta un juego complicado cuya solución se obtiene después de efectuar una serie de intentos, con pruebas y errores.

En la siguiente figura se observa una de las posibles soluciones:

Sin embargo, se observa que, aunque las filas verticales suman todas lo mismo, las diagonales y las dos primeras filas horizontales dan unos resultados diferentes.

Esto indica que es necesario hacer algunos cambios. Con otra serie de intentos y pruebas llegaremos a obtener la solución: 

                                                                        A los cuadrados como este, en los que las sumas de las filas, columnas y diagonales son iguales, se les conoce como cuadrados mágicos.

                       

Estrategia 3 para resolver problemas

Esta estrategia, llamada de generalización, consiste en tratar de resolver un problema estudiando qué ocurre, primero para casos particulares y, posteriormente, generalizando las regularidades observadas en esos casos particulares.

Así ocurre en el siguiente problema.

Suponiendo que  a, b y c son tres números positivos, ¿podemos afirmar que la expresión  (1 + a²) · (1 + b²) · (1 + c²) es mayor o igual que la expresión 8 · a · b · c?

En primer lugar particularizamos para algunos valores de los números a, b y c.

Si suponemos que a =1, b =1, c =1:

-      (1 + a²⁾ · (1 + b²) · (1 + c²) =  2 · 2 · 2 = 8

-      8 · a · b · c = 8 · 1 · 1 · 1 = 8

En este caso ambas expresiones son iguales.

Suponemos ahora que a =1, b =2, c =3:

-      (1 + a²⁾ · (1 + b²) · (1 + c²) =  2 · 5 · 10 = 100

-      8· a · b · c = 8 · 1 · 2 · 3 =  48

Aquí es mayor la primera expresión.

Si ahora a =2, b =4, c =1:

-      (1 + a²⁾ · (1 + b²) · (1 + c²) =  5 · 17 · 2 = 170

-      8· a · b · c = 8 · 2 · 4 · 1 =  64

También en este caso la primera es mayor.

Vamos pues a intentar la generalización.

Sabemos que para cualquier número a se cumple que (a - 1)² es mayor o igual que 0, de donde se puede deducir que  a² + 1 es mayor o igual que 2 a.

Haciendo el mismo razonamiento para los números b y c, obtenemos también que  b² + 1 es mayor o igual que 2 b  y  que c² + 1 es mayor o igual que 2 c.

Como los números a, b y c son positivos, multiplicando las tres desigualdades obtenidas, miembro a miembro, se deduce que:

(1 + a²⁾ · (1 + b²) · (1 + c²) es mayor o igual que (2 a · 2 b · 2 c)

Pero, 2 a · 2 b · 2 c = 8 · a · b · c

Así, se ha demostrado que la primera de las dos expresiones es mayor o igual que la segunda, tal y como se decía en el enunciado del problema.