Estrategia 3 para resolver problemas

Esta estrategia, llamada de generalización, consiste en tratar de resolver un problema estudiando qué ocurre, primero para casos particulares y, posteriormente, generalizando las regularidades observadas en esos casos particulares.

Así ocurre en el siguiente problema.

Suponiendo que  a, b y c son tres números positivos, ¿podemos afirmar que la expresión  (1 + a²) · (1 + b²) · (1 + c²) es mayor o igual que la expresión 8 · a · b · c?

En primer lugar particularizamos para algunos valores de los números a, b y c.

Si suponemos que a =1, b =1, c =1:

-      (1 + a²⁾ · (1 + b²) · (1 + c²) =  2 · 2 · 2 = 8

-      8 · a · b · c = 8 · 1 · 1 · 1 = 8

En este caso ambas expresiones son iguales.

Suponemos ahora que a =1, b =2, c =3:

-      (1 + a²⁾ · (1 + b²) · (1 + c²) =  2 · 5 · 10 = 100

-      8· a · b · c = 8 · 1 · 2 · 3 =  48

Aquí es mayor la primera expresión.

Si ahora a =2, b =4, c =1:

-      (1 + a²⁾ · (1 + b²) · (1 + c²) =  5 · 17 · 2 = 170

-      8· a · b · c = 8 · 2 · 4 · 1 =  64

También en este caso la primera es mayor.

Vamos pues a intentar la generalización.

Sabemos que para cualquier número a se cumple que (a - 1)² es mayor o igual que 0, de donde se puede deducir que  a² + 1 es mayor o igual que 2 a.

Haciendo el mismo razonamiento para los números b y c, obtenemos también que  b² + 1 es mayor o igual que 2 b  y  que c² + 1 es mayor o igual que 2 c.

Como los números a, b y c son positivos, multiplicando las tres desigualdades obtenidas, miembro a miembro, se deduce que:

(1 + a²⁾ · (1 + b²) · (1 + c²) es mayor o igual que (2 a · 2 b · 2 c)

Pero, 2 a · 2 b · 2 c = 8 · a · b · c

Así, se ha demostrado que la primera de las dos expresiones es mayor o igual que la segunda, tal y como se decía en el enunciado del problema.