La partición de un triángulo
equilátero da lugar a situaciones y planteamientos interesantes. Vamos a partir
de un triángulo equilátero y estudiar algunas relaciones que se pueden
establecer al partir sus lados en porciones de igual longitud.
Si en un triángulo
equilátero dividimos los lados en tres partes iguales y dividimos el triángulo
en tantos triángulos equiláteros como sea posible, tenemos una figura como la
que sigue.
Como puedes observar hemos
obtenido 9 triángulos equiláteros cuyos lados tienen de longitud la tercera
parte de la longitud de los lados originales.
Si dividimos los lados en 4,
5, 6 o más partes obtendremos figuras con un mayor número de triángulos.
-Si dividimos los lados de
un triángulo equilátero en n partes iguales, ¿cuántos triángulos equiláteros
obtendríamos si sus lados tienen de longitud (1/n) ·a, siendo a la longitud de
los lados originales?
-Numerando
las diferentes filas de triángulos que se forman, al dividir los lados en n
partes iguales, como se muestra en la figura siguiente, ¿cuántos triángulos
compondrán la fila n-ésima?
-Si al efectuar la división
de los lados en partes iguales quitamos después los triángulos de las esquinas,
como se muestra en la figura, obtenemos un hexágono cuya área variará
dependiendo de las partes iguales en que hayamos dividido los lados, ¿podrías
decir que porción del área del triángulo original se elimina al quitar los
triángulos de las esquinas cuando hemos dividido los lados en n partes iguales?
Solución:
En primer lugar dibujamos el
triángulo en el que hemos dividido los
lados en seis partes iguales.
Elaborando las tablas de
cada caso, obtendremos la ley de generalización.
Luego, si dividimos los
lados del triángulo en n partes, obtenemos n2
triángulos.
Así, si dividimos los lados
del triángulo en n partes, obtenemos (2n-1)
triángulos en la fila n.
Por tanto, si dividimos los
lados del triángulo en n partes, obtenemos que la porción de área que perdemos al quitar las esquinas es 3/n2.
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