Se
llama sucesión de Fibonacci aquella cuyos términos vienen definidos
mediante la expresión an = an-1
+ an-2, considerando que a0=0 y a1=1.
Calculamos
los 15 primeros términos de esta sucesión:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,
89, 144, 233, 377.
-Si
sumas los diez primeros obtienes 88=11·8 = 11·séptimo sumando
-Si
sumas desde el término 2º hasta el 11º obtienes 143 = 11·13 = = 11·séptimo
sumando
-Si
sumas desde el término 3º hasta el 12º obtienes 231 = 11·21= = 11·séptimo sumando
-Si
sumas desde el término 4º hasta el 13º obtienes 374 = 11·34= = 11·séptimo sumando
¿Se puede generalizar este
hecho y afirmar que la suma de diez términos consecutivos cualesquiera de esta
sucesión es un múltiplo de 11?
Solución:
Suponemos
diez términos consecutivos cualesquiera de la sucesión; su suma es:
S = an + an+1
+ an+2 + an+3 + an+4 + an+5 + an+6
+ an+7 + an+8 + an+9
Utilizando
la definición de la sucesión, podemos expresar cada uno de los diez términos en
la forma siguiente:
an
an+1
an+2 = an
+ an+1
an+3 = an+1 + an+2 = an+1
+ an + an+1 = an
+ 2an+1
an+4 = an+2 + an+3 = an
+ an+1 + an + 2an+1 = 2 an + 3an+1
an+5 = an+3 + an+4 = an + 2an+1 + 2 an
+ 3an+1 = 3 an + 5an+1
an+6 = an+4 + an+5 = 2 an + 3an+1 + 3 an
+ 5an+1 = 5 an + 8an+1
an+7 = an+5 + an+6 = 3 an + 5an+1 + 5 an
+ 8an+1 = 8 an + 13an+1
an+8 = an+6 + an+7 = 5 an + 8an+1 + 8 an
+ 13an+1 = 13 an +
21an+1
an+9 = an+7 + an+8 = 8 an + 13an+1 + 13 an
+ 21an+1 = 21 an +
34an+1
Utilizando estas
expresiones, tenemos que:
S = an + an+1 + an + an+1
+ an + 2an+1 + 2 an + 3an+1 + 3 an
+ 5an+1 + + 5 an + 8an+1 + 8 an + 13an+1
+ 13 an + 21an+1 + 21 an + 34an+1 =
= an·(1+1+1+2+3+5+8+13+21)
+ an+1·(1+1+2+3+5+8+13+21+34) =
= 55an + 88an+1 = 11·(5an + 8an+1)
Queda demostrado. Por
tanto, que dicha suma es múltiplo de 11.
Se
observa, además, que el factor que se multiplica por 11 es an+6, tal
y como se ve en las descomposiciones anteriores. Luego también queda demostrado
que la suma es el producto de 11 por el
término séptimo de la suma.
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