Suma y resta de polinomios.

Llamamos monomios semejantes a aquellos que tienen la misma parte literal (las mismas variables y elevadas a las mismas potencias).

Ejemplos:

a)Son semejantes los monomios M (x) = 8 x² y N (x) = - 6 x².

b)Son semejantes los monomios M (x) = 5 a² b³ y N (x) = 2 a² b³.

c)No son semejantes los monomios M (x) = x² z³ y N (x) = 2 x³ z².

Cuando dos o más monomios son semejantes, los podemos sumar o restar teniendo en cuenta que se puede extraer como factor común la parte literal de todos ellos.

Así, 4 x³ + 5 x³ - 6 x³ = (4 + 5 - 6) x³ = 3 x³.

Por tanto, al sumar dos o más monomios semejantes se obtiene otro monomio semejante a ellos y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes de todos ellos.

Teniendo en cuenta lo anterior, deducimos que para sumar dos o más polinomios en una variable debemos sumar entre sí los monomios del mismo grado que los componen.

Ejemplo:

Sean P (x) = 7 – 8 x + 5 x³ y Q (x) = 6 x + 5 x² – x³ + 4 x⁴.

Sumando los monomios del mismo grado entre sí, deducimos que la suma de los polinomios es:

P (x) + Q (x) = 7 + (- 8 + 6) x + 5 x² + (5 – 1) x³ + 4 x⁴ =

= 7 – 2 x + 5 x² + 4 x³ + 4 x⁴

Teniendo en cuenta que la suma de números reales es conmutativa, es fácil observar que la suma de polinomios cumple la propiedad conmutativa.

Ejemplo:

Si nos fijamos en el ejemplo anterior, tenemos que:

P (x) + Q (x) = (7 – 8 x + 5 x³) + (6 x + 5 x² – x³ + 4 x⁴) =

= 7 + (- 8 + 6) x + 5 x² + (5 – 1) x³ + 4 x⁴ =

= 7 + (6 - 8) x + 5 x² + (- 1 + 5) x³ + 4 x⁴ =

= (6 x + 5 x² – x³ + 4 x⁴) + (7 – 8 x + 5 x³) = Q (x) + P (x)

También existe el elemento neutro para la suma de polinomios. Es el denominado polinomio nulo, es decir, aquel cuyos coeficientes son todos iguales a cero.

Para realizar la suma de varios polinomios, es práctico ordenarlos todos de forma creciente o decreciente, completando con ceros aquellos términos de los grados que no aparezcan y colocarlos uno encima de otro, de forma que podamos sumar por columnas los monomios del mismo grado.

Ejemplo:

Vamos a sumar los tres polinomios siguientes:

P (x) = 4 – 2 x² + 3 x⁴

Q (x) = 3 x + x³ – x⁴

R (x) = 5 x⁴ – 3 x³ + 6 x – 6

Ordenamos en orden creciente de su grado los polinomios y completamos aquellos términos cuyo grado no aparece en cada uno de los polinomios:

P (x) = 4 + 0 x – 2 x² + 0 x³ + 3 x⁴

Q (x) = 0 + 3 x + 0 x² + x³ – x⁴

R (x) = - 6 + 6 x + 0 x² – 3 x³ + 5 x⁴

Colocamos uno encima de otro y sumamos por columnas:

Así, P (x) + Q (x) + R (x) = -   2 + 9 x – 2 x² – 2 x³ + 7 x^4.