Reto en la clase

Un profesor propone un reto a sus alumnos: a cada uno de ellos le entrega un alambre de 20 cm de longitud y les dice que construyan con él un cuadrilátero con cuatro ángulos rectos, de forma que a cada uno le subirá en la nota final de la evaluación tantos puntos como dm² tenga la superficie del polígono que haya  construido.

¿Cómo debe ser dicho polígono para obtener la mayor subida posible de nota? ¿Cuánto supondría dicha subida en la nota?

Solución:

Suponemos que el cuadrilátero tiene como dimensiones x e y cm.

Al medir el alambre 20 cm, se deduce que 2x + 2y = 20; es decir, que x  + y = 10; o también, y = 10 – x.

Queremos que la superficie sea máxima, por lo que la función que debemos maximizar es S = x·y pero para que dependa de una sola variable, sustituimos la expresión de y en función de x:

S(x) = x·(10 – x) = 10x – x²

Derivamos e igualamos a cero, en busca de extremos relativos:

S´(x) = 10 – 2x = 0; 2x = 10; x = 5

Calculamos la segunda derivada de la función para comprobar si en el punto de abscisa x = 5 la función alcanza un máximo:

S´´(x) = -2; S´´(5) = -2 < 0

Así, en x = 5 se alcanza dicho máximo y, en ese caso:

y = 10 – x = 10 – 5 = 5

Por tanto, el cuadrilátero que debe construirse es el de mayor superficie, que es un cuadrado de lado 5 cm.

La superficie de este cuadrado es 5² = 25 cm² = 0,25 dm² 

La subida de la nota sería de 0,25 puntos.