Un agricultor tiene plantados 250 limoneros en su
finca, cada uno de los cuales produce una media de 25 kg de limones. Con los
años, ha comprobado que, por cada limonero que planta, la producción media de
cada uno de los árboles baja en 0,05 kg.
¿Cuánto limoneros se deben añadir a los existentes
para que la cosecha de limones de la finca sea máxima? ¿Cuál sería esa cosecha?
Solución:
Supongamos que se añaden x limoneros a la plantación
de la finca.
El número de árboles será 250 + x, y la producción
media de cada uno de ellos será 25 – 0,05x kg de limones.
Así,
la cosecha total de la finca, que queremos maximizar, es:
C(x) = (250 + x)·(25 – 0,05x)=
-0,05x2 + 12,5x + 6250
Derivamos
e igualamos a cero, en busca de extremos relativos:
C´(x) = - 0, 1 x + 12,5 = 0;
x = 12,5/0,1 = 125
Comprobamos
con la segunda derivada si se trata de un máximo:
C´´(x) = - 0,1; C´´(125) = -
0,1 <0, luego es máximo
La cosecha máxima se obtendría plantando 125 nuevos limoneros y ascendería a
C(125) = -0,05·1252 + 12,5·125 + 6250 = 7031,25 kg de limones.
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