Optimización

Halla las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma de paralelepípedo rectangular, sabiendo que su volumen ha de ser 9 m³, su altura 1 m y que el coste por m² es de 50 € para la base, 60 € para la tapa y 40 € para cada pared lateral.

Solución:

Llamamos x, y, a las dimensiones de la base.

El volumen del depósito es V = x·y·altura = xy = 9 m³, de donde se deduce que y = 9/x

El coste de la base será 50xy, el de la tapa 60xy, y el de las paredes laterales 40(2x + 2y).

Así, la función que se quiere optimizar es:

C = 50xy + 60 xy + 40(2x + 2y) = 110xy + 80(x + y)

Pero, para dejarla en función de una sola variable, utilizamos la expresión de y en función de x:

Derivamos e igualamos a cero para determinar posibles extremos relativos:

(Observamos que la solución x= -3 no es factible al tratarse de la longitud de un lado).

Para comprobar si se trata de un mínimo, calculamos la segunda derivada de la función:

Así, la función C alcanza un mínimo en x = 3, por lo que y = 3 también. Es decir, que el coste es mínimo cuando la base del contenedor es un cuadrado de lado 3 m.