Optimización

Con planchas cuadradas de cartón de 400 cm² cada una, se van a construir cajas sin tapa. Para ello, se recortarán cuadrados iguales en cada vértice de una plancha.

¿Cuál debe ser el lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea máximo?

Solución:

Como el área de cada una de las planchas cuadradas es 400 cm², se deduce que la longitud de su lado es 20 cm. Por lo tanto, la figura que se obtiene al recortar los cuadrados de lado x en las esquinas es la siguiente:

La base de la caja que se va a formar es un cuadrado de 20-2x cm de lado y la altura de la caja será x cm. Así, la función que se quiere maximizar, su volumen, es:

f(x) = (20 – 2x)²·x = (400 + 4x² – 80x)x = 4x³ – 80x² + 400x

Derivamos e igualamos a cero, buscando extremos relativos:

f´(x) = 12x² – 160x + 400 = 0; 3x² – 40x + 100 = 0

Resolvemos la ecuación:

Las dos soluciones de la ecuación son x = 10 y x = 20/6 = 10/3, pero la primera no tiene sentido en este problema.

Para ver si en la segunda se alcanza el máximo, calculamos la segunda derivada de la función:

f´´(x) = 24x – 160

f´´(40/3) = 24·(10/3) – 160 = 80 -160 < 0

De esta forma, queda comprobado que si recortamos un cuadrado de lado 10/3 cm en las esquinas, el volumen de la caja será máximo.