Consideramos un cuadrado de lado la unidad y
vamos a calcular su diagonal.
Utilizamos el
teorema de Pitágoras:
Supongamos que este
resultado es un número racional. En ese supuesto, se debe poder expresar como
una fracción; es decir, han de existir dos números enteros p y q tales que:
Si elevamos los dos
miembros de la igualdad al cuadrado, obtenemos que 2 = p2/q2,
lo que es equivalente a que 2 q2 = p2.
Analizando esta última
igualdad, en la descomposición factorial de su primer miembro (2 q2)
el número 2 aparecerá un número impar de veces. Sin embargo, en la descomposición factorial de su segundo
miembro (p2) el número 2 aparecerá un número par de veces o no
aparecerá. Así, esta igualdad es imposible.
Por ello, es falso el
supuesto que habíamos hecho, de lo que se deduce que:
Esto demuestra la
insuficiencia de los números racionales, y lleva a la aparición de los
irracionales.
Se llama número irracional aquel que tiene
infinitas cifras decimales que no se repiten de forma periódica.
Por supuesto, ningún
número irracional puede expresarse en forma de fracción.
Son irracionales, por
ejemplo, los números siguientes:
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