Ejercicios resueltos de polinomios.

1. Clasifica los polinomios siguientes según su grado y el número de términos que lo componen:

a) 5 x⁴ + 2 x² – 7

b) - 3 x + 7 x² – x³ + 5

c) 5 x³ – 6 x

d) 18 x⁶

e) 6 + 8 x²

Solución:

a) Es un trinomio de cuarto grado.

b) Es un cuatrinomio de tercer grado.

c) Es un binomio de tercer grado.

d) Es un monomio de sexto grado.

e) Es un binomio de segundo grado.

2. Calcula los valores de a y b para que sean iguales los polinomios P(x) y Q(x) siguientes:

P(x) = 6 + 2 a x² – 8 x³ + 9 x⁴

Q(x) = 3 b + 8 x² – 4 b x³ + 9 x⁴

Solución:

Para que sean iguales, han de ser iguales entre sí todos los coeficientes correspondientes a términos del mismo grado. Por tanto, debe cumplirse que:

6 = 3 b; 2 a = 8; - 8 = - 4 b

Despejando en las condiciones anteriores, se obtiene fácilmente que a = 4 y b = 2.

3. Halla el valor numérico del siguiente polinomio en los valores   x = 3 y en x = - 1.

P(x) = 2 x³ – 3 x² – 7 x + 10

Solución:

El valor numérico en x = 3 es:

P(3) = 2·3³ – 3·3² – 7·3 + 10 = 54 – 27 – 21 + 10 = 16

El valor numérico en x = - 1 es:

P(- 1) = 2·(- 1)³ – 3·(- 1)² – 7·(- 1) + 10 =

= 2·(- 1) – 3·1 – 7·(- 1) + 10 = - 2 – 3 + 7 + 10 = 12

4. ¿Cuánto valdrá la suma de los coeficientes del polinomio que resulta al efectuar la siguiente multiplicación?

(6 x³ – 2 x² + 5 x – 6)·(-5 x² + 7 x + 1)

Solución:

Basta para resolver el ejercicio tener en cuenta que la suma de los coeficientes de un polinomio coincide con el valor numérico de dicho polinomio en x = 1.

Por tanto:

(6·1 – 2·1 + 5·1 – 6)·(- 5·1 + 7·1 + 1)=

= (6 -2 + 5 – 6)·(- 5 + 7 + 1) = 3·3 = 9

5. Efectúa:

a)4 x³ · (- 3 + 3 x + 5 x³)

b)- 3 x² · (4 x² – 3 x³ – 2 x⁴)

Solución:

a)4 x³ · (- 3 + 3 x + 5 x³) = - 12 x³ + 12 x⁴ + 20 x⁶

b)- 3 x² · (4 x² – 3 x³ – 2 x⁴) = - 12 x⁴ + 9 x⁵ + 6 x⁶

6. Siendo P(x) = 3 x² – 4 x + 6 y Q(x) = 5 x – 3, realiza las operaciones siguientes:

a) P(x) + Q(x)

b) Q(x) – P(x)

c) 3·P(x) + 4·Q(x)

d) P(x) · Q(x)

Solución:

a) P(x) + Q(x) = (3 x² – 4 x + 6) + (5 x – 3)=

   = 3 x² – 4 x + 5 x + 6 – 3 = 3 x² + x + 3

b) Q(x) – P(x) = (5 x – 3) - (3 x² – 4 x + 6)=

   = 5 x – 3 - 3 x² + 4 x – 6 = - 3 x² + 9 x – 9

c) 3·P(x) + 4·Q(x) = 3·(3 x² – 4 x + 6) + 4·(5 x – 3)=

   = 9 x² – 12 x + 18 + 20 x – 12 = 9 x² + 8 x + 6

d) P(x) · Q(x) = (3 x² – 4 x + 6) · (5 x – 3)=

   = (3 x² – 4 x + 6)· 5 x + (3 x² – 4 x + 6)·(– 3)=

   = 15 x³ – 20 x² + 30 x – 9 x² + 12 x – 18 =

   = 15 x³ – 29 x² + 42 x – 18

7. Efectúa las siguientes multiplicaciones:

a) (2 + 4 x – 5 x²)·(- 4 x + 4 x²)

b) (x² – 6 x³)·(3 x + x² – 2 x³)

Solución:

a)(2 + 4 x – 5 x²)·(- 4 x + 4 x²)=

= 2·(- 4 x + 4 x²) + 4 x·(- 4 x + 4 x²) – 5 x²·(- 4 x + 4 x²)=

= - 8 x + 8 x² – 16 x² + 16 x³ + 20 x³ – 20 x⁴ =

= - 8 x – 8 x² + 36 x³ – 20 x⁴

b) (2 x² – 6 x³)·(4 x + x² – 2 x³)=

  = 2 x²·(4 x + x² – 2 x³) – 6 x³·(4 x + x² – 2 x³) =

  = 8 x³ + 2 x⁴ – 4 x⁵ – 24 x⁴ – 6 x⁵ + 12 x⁶ =

  = 8 x³ – 22 x⁴ - 10 x⁵ + 12 x⁶

8. Multiplica los polinomios siguientes:

P (x) = 5 + 3 x + 5 x² – 4 x³

Q (x) = 1 + 2 x² – 3 x³

Solución:

9. Efectúa la siguiente división:

(8 x³ – 22 x⁴ - 10 x⁵ + 12 x⁶):( 2 x² – 6 x³)

Solución:

10. Efectúa la siguiente división:

(– 20 x⁴ + 36 x³ – 8 x² - 12 x):(– 5 x² + 4 x + 2)

Solución: