miércoles, 12 de agosto de 2015

Problema 149

Si el diámetro de cada uno de los tres círculos mide 10 cm y, sabiendo que son tangentes dos  a dos, encuentra la superficie de la región encerrada por ellos, que aparece coloreada de negro en la figura.



Solución:

Si unimos mediante segmentos los centros de los círculos, obtenemos la figura siguiente:


En ella observamos que el triángulo que aparece es equilátero y cada uno de sus lados mide 10 cm, al coincidir con el doble del radio de cada círculo.

Calculamos el área de dicho triángulo, utilizando previamente el teorema de Pitágoras para calcular su altura:


Así, el área del triángulo es:


Por otro lado, el triángulo, al ser equilátero, determina en cada círculo un sector circular de 60º de amplitud. El área de cada uno de estos sectores es:


El área de la región buscada coincide con la del triángulo menos la de los tres sectores circulares iguales. Por tanto:



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