Resultados sobre números metálicos.

Los enteros mayores que 1 son números metálicos.

Se llaman números metálicos a las soluciones positivas de las ecuaciones  polinómicas de la forma  x² – px – q =0, en las que p y q son enteros positivos.

El número metálico correspondiente a la ecuación x² – px – q =0 se designa por σ_p,q, aunque algunos de ellos tienen un nombre propio.

Si dedicamos un rato a resolver estas ecuaciones para distintos valores de p y considerando q = 1, obtenemos la tabla siguiente:

Si resolvemos ahora estas ecuaciones para distintos valores de q y considerando p = 1, obtenemos la tabla siguiente:

Si fijamos p=1 y consideramos unos valores particulares de q, obtenemos también unos valores particulares de números metálicos (son enteros). Obsérvalo en la tabla siguiente:

Esta tabla parece indicarnos que cualquier entero mayor que 1 es un número metálico de la forma σ_1,q. Pero, ¿podemos demostrarlo?

Sea n un entero mayor que 1 cualquiera. Si n = σ_1,q es porque n es la solución positiva de la ecuación x² – x – q =0; es decir:

Despejamos q:

Por tanto, cualquier entero n, mayor que 1, es un número metálico de la forma σ_1,q. Concretamente, se cumple que:

Este resultado es un caso particular pues se refiere al caso en que p=1.Pero, ¿podría generalizarse para cualquier valor de p entero positivo?

Supongamos que σ_p,q = n, siendo n un entero positivo:

Como p y q son enteros positivos, esta condición implica la necesidad de que n sea mayor que p(es decir, n ha de ser mayor o igual a 2).

Así, este resultado se puede resumir en la siguiente propiedad.

Si p y n son enteros tales que n > p ≥ 1, se cumple que:

El caso particular de esta propiedad para p=1 es n = σ_1,n(n-1),que habíamos demostrado anteriormente.

Los números metálicos de la forma σ _{p, p+1} son enteros y, más específicamente, se verifica que σ _{p, p+1} = p+1 para cualquier entero positivo p.

Es fácil comprobar que σ_1,2 = 2, que σ_2,3 = 3 o que σ_3,4 = 4. Estos valores incitan a pensar en una posible generalización. Vamos a ello:

Consideramos la siguiente ecuación, con p entero positivo.

La solución positiva de dicha ecuación es:

Por tanto, acabamos de demostrar que para cualquier entero positivo p se cumple que:

σ _{p, p+1} = p+1