sábado, 20 de junio de 2015

Selectividad 2015 Murcia


PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD–MURCIA–JUNIO-2015
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C.SS. II
OPCIÓN A


CUESTIÓN A1. Dadas las matrices:

a)Calcula Bt + 2C.
b)Halla la matriz X que cumple AX = Bt + 2C, siendo:


Solución:

a) 


b)
Este sistema es equivalente a:


Por tanto:

CUESTIÓN A2. Dada la función:


calcula:


a)Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
b)Los máximos y los mínimos relativos.
c)Los puntos de corte con los ejes.

Solución:

a)Al tratarse de una función polinómica, el dominio es el conjunto de todos los números reales. Para hallar los intervalos de monotonía, igualamos a cero la derivada de la función y resolvemos la ecuación que se obtiene:

f´(x) = 0
x – x2 = 0
x(1 – x) = 0

Las soluciones de la ecuación son x = 0 y x = 1, puntos en los que puede haber extremos relativos.

Si x < 0, x(1 – x) < 0, es decir, f´(x) < 0
Si 0 < x < 1, x(1 – x) > 0, es decir, f´(x) > 0
Si x > 1, x(1 – x) < 0, es decir, f´(x) < 0

Así:

f(x) es estrictamente creciente en el intervalo (0, 1) y es estrictamente decreciente en los intervalos (- ∞,0) y (1, + ∞)

b)Los puntos en los que se anula la derivada de la función f(x) son x = 0 y x = 1. Vemos el signo que toma la segunda derivada de la función en estos puntos:

f´´(x) = 1 – 2x
f´´(0) = 1 > 0, por lo que se alcanza un mínimo relativo
f´´(1) = - 1 < 0, por lo que se alcanza un máximo relativo

Además, f(0) = 0 y f(1) = 1/2 - 1/3 = 1/6, luego tenemos un mínimo relativo que es el punto (0, 0) y un máximo relativo que es el punto (1, 1/6).

c)El punto de corte con el eje Y es el que corresponde al valor de  x = 0, es decir el punto (0, 0).

Calculamos los puntos de corte con el eje X, para lo que debe cumplirse que f(x) = 0.


Así, los puntos de corte con el eje X son: (0,0) y (3/2, 0).


CUESTIÓN A3. Halla una primitiva F(x) de la función f(x) que cumpla que F(1) = 0, siendo f(x) = x3 – 2x2 + x – 2.

Solución:

Hallamos la integral indefinida de f(x):


La primitiva F(x) será aquella cuyo valor de K haga que se cumpla la condición pedida.


Por tanto:



CUESTIÓN A4. La probabilidad de aprobar la asignatura A es 2/3 y la de aprobar la asignatura B es 1/2. Además, la probabilidad de aprobar las dos es 1/4.

a)Halla la probabilidad de no aprobar ninguna de las dos asignaturas
b)Calcula la probabilidad de aprobar A pero no B.

Solución:

Si P(A)= 2/3 es la probabilidad de aprobar A, la de no aprobarla es P(Ac) = 1 – 2/3 = 1/3.

Análogamente, si P(B)= 1/2 es la probabilidad de aprobar B, la de no aprobarla es P(Bc) = 1 – 1/2 = 1/2.

Sabemos además, que la probabilidad de aprobar A y B es 1/4. Así, podemos colocar estos datos en la tabla siguiente:


Y, a partir de ellos, completamos los datos que faltan en la tabla:


Por tanto, ya tenemos las soluciones de ambos apartados:

a)  La probabilidad de no aprobar ninguna de las dos asignaturas es 1/12.
b)  La probabilidad de aprobar A pero no B es 5/12.


CUESTIÓN A5. Un estudio sociológico afirma que la proporción de estudiantes de una población es 2/5. Si en una muestra aleatoria de 700 individuos de la población hay 100 estudiantes, ¿puede admitirse a un nivel de confianza del 99% la afirmación del estudio?

Solución:

Se trata de un contraste de hipótesis bilateral, con las siguientes hipótesis:
Como en la muestra de n = 700 individuos de la población hay 100 estudiantes, tenemos que:

Como el nivel de confianza es del 99%, tenemos que:


Utilizando la tabla de la distribución normal, resulta:


Por tanto, el intervalo de aceptación es (- 2,575, 2,575).

Calculamos el estadístico de contraste para ver si pertenece o no a dicho intervalo:


Este valor no pertenece al intervalo de aceptación y, por ello, se rechaza la hipótesis de que la proporción de estudiantes de la población es de 2/5.

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