Una empresa fabrica envases
para productos líquidos utilizando cartón reciclable y tratando de presentar
diseños originales que llamen la atención de sus clientes.
El último pedido que les
hizo una envasadora de zumos estaba formado por recipientes en forma de prisma
triangular cuya base era un triángulo equilátero de 36 centímetros cuadrados de
superficie, y con una altura de 12 centímetros.
Ahora la misma envasadora
quiere que le fabriquen envases en forma de prisma hexagonal, pero con las siguientes
condiciones:
- El contorno de la base, un
hexágono regular, ha de ser el mismo que en los envases de base triangular.
- El volumen de líquido que
quieren envasar en el nuevo modelo es el mismo que el contenido en el modelo de
base triangular.
¿Cuál debe ser la altura del
nuevo envase?
Solución:
Si triangulamos un hexágono
regular y un triángulo equilátero, ambos del mismo perímetro, observamos lo
siguiente:
El triángulo contiene cuatro
triángulos equiláteros pequeños, cuyo lado mide la mitad del lado del triángulo inicial.
Sin embargo, el hexágono contiene seis de dichos triángulos pequeños. Por
tanto, si S es la superficie del triángulo, la del hexágono es S´ = 6S/4.
Aplicando esto a nuestro
problema, la base del nuevo envase será un hexágono cuya superficie es S´=
6·36/4 = 54 cm2.
El volumen del primer envase
(área de la base por la altura del prisma) era 36·12 = 432 cm3, y
este volumen debe mantenerse en el envase nuevo.
Como en este último acabamos
de ver que la base mide 54 cm2, deducimos que su altura debe ser
432:54 = 8 cm.
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