Potencias de una matriz

Calcula A ²⁷ y A ⁴⁰ siendo A la matriz siguiente:

Solución:

Calculamos algunas potencias sucesivas de A:

Observamos que Aⁿ = I si n es par:

En efecto, si n es par, existe m tal que n = 2m y, en ese caso, se cumple que Aⁿ = A^2m = (A²)^m = I^m = I

Del mismo modo, Aⁿ = A si n es impar:

Efectivamente, si n es impar, existe m par tal que n = m + 1, y entonces, Aⁿ = A^{m + 1} = A^m · A¹ = I· A = A.

Por tanto, A ²⁷ = A  y  A ⁴⁰ = I, siendo I la matriz identidad de orden dos.