Problema 91

Considera los números A = 84 y B = 36. Si invertimos el orden de sus cifras obtenemos otros dos números A´= 48 y B´= 63.

¿Qué relación existe entre los productos A · B y A´· B´?

¿Ocurre lo mismo si repetimos el proceso con  A = 26 y B = 93?

¿Serías capaz de encontrar otras parejas de números de dos cifras que verifiquen la misma propiedad? ¿Qué deben cumplir todas esas parejas?

Solución:

Es fácil comprobar que:

84·36 = 3024 = 48·63

26·93 = 2418 = 62·39

Así, en estos dos casos, la relación existente entre los productos es que A · B = A´· B´.

Pero lo interesante del problema es intentar una generalización: encontrar la condición que deben cumplir dos números de dos cifras para que se verifique la propiedad.

Si A y B son dos números de dos cifras (A = ab y B = cd), podemos expresarlos de la forma A = b + 10 a, y B = d + 10 c.

A · B = A´· B´ equivale a (b+10a)·(d+10c) = (a+10b)·(c+10d)

b·d+10b·c+10a·d+100a·c = a·c+10a·d+10b·c+100b·d

b·d+100a·c = a·c+100b·d

99a·c = 99b·d

a·c = b·d

Así, queda demostrado que esta propiedad la cumple cualquier pareja de números de dos cifras tales que el producto de las primeras cifras de ambos sea igual al producto de sus segundas cifras.