martes, 5 de mayo de 2015

Problema 84

Se consideran cinco términos intermedios y consecutivos de una progresión aritmética de números positivos. 


a)Si el quinto de ellos es el doble del primero, y el cuarto es un número primo, calcula los cinco términos.

b)Si, además, se sabe que el término décimoquinto de la progresión es 16, ¿cuál es el primer término de esta?

Solución:

a)Si llamamos d a la diferencia de la progresión, los cinco términos podemos escribirlos de la forma:


a, a + d, a + 2 d, a + 3 d, a + 4 d

Si el quinto es doble del primero, se cumple que a + 4 d = 2 a, de donde se deduce que a = 4 d.

Así, los términos podemos escribirlos como :


4 d, 5 d, 6 d, 7 d, 8 d

Como 7 d es un número primo y es positivo, necesariamente se cumple que d = 1. Por tanto, los cinco términos son:


4, 5, 6, 7 y 8

b) El término décimoquinto es igual al primer término más 14 d, es decir, que 16 - 14 d = 16 - 14 = 2 es el primer término de la progresión.

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