Problema 77

Tenemos un prisma cuya base es un cuadrado de lado 10 cm.

Enrollamos una cuerda de un metro de longitud a su alrededor empezando en el vértice A y terminando en el vértice B tras dos vueltas completas, tal y como se muestra en la figura.

¿Cuál es la altura del prisma? 

Solución:

Giramos la figura:

Si cortamos por la arista que une los vértices A y B, y por las aristas de las bases, y extendemos la figura sobre el plano, nos quedaría de la forma siguiente:

La longitud de la cuerda coincide con la suma de las hipotenusas de los triángulos rectángulos AAM y MMB, ambas iguales.

En cada uno de estos triángulos, la longitud del cateto mayor es el perímetro de cada base del prisma, es decir, 40 cm; la del cateto menor es la mitad de la altura del prisma; y la hipotenusa es la mitad de la longitud de la cuerda, luego 50 cm.

Si llamamos x a la mitad de la altura del prisma, y aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos que 50² = 40² + x². Es decir, se cumple que x² = 900, y por tanto, x = 30 cm.

Como consecuencia, la altura del prisma es 60 cm.