viernes, 3 de abril de 2015

Problema 47

Consideramos un cuadrado de 6 cm de lado apoyado sobre una línea recta horizontal. Si giramos dicho cuadrado sobre sí mismo apoyándose en la recta hacia la derecha y nos fijamos en el recorrido que describe el vértice izquierdo que está sobre la línea hasta que vuelve a estar sobre ella, calcula el área de la región encerrada por dicho recorrido y la línea horizontal.

Solución:

En el tramo 1, es un cuarto de círculo de radio 6cm y exactamente lo mismo en el tramo 3. Luego entre ambos tramos se encierra el área de un semicírculo de radio 6cm; es decir:


π·62/2 = 18π cm2

En el tramo 2 se encierra el área de un cuarto de círculo cuyo radio es la diagonal del cuadrado, más el área de los dos triángulos rectángulos que se obtienen al dividir el cuadrado por su diagonal (entre los dos triángulos, es el área del cuadrado). Así, en el tramo 2 el área que se encierra es:

Π·(62+62)/4 + 36 = 18π + 36 cm2

El área total es pues 18π + 18π + 36 cm2 = 36π + 36 cm2

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