Optimización

Se quiere cercar  un terreno rectangular con 60 m de valla de forma que la superficie encerrada sea máxima. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del terreno?

Solución:

Sean x e y el largo y el ancho del terreno, respectivamente. 

Como la valla que se va a utilizar mide 60 m, dicha longitud ha de coincidir con el perímetro del terreno y, de esta forma, sabemos que se debe cumplir 2x + 2y = 60, lo que equivale a que x + y = 30.

Es decir, y = 30 – x.

El área del rectángulo, en este caso el terreno, es S = x·y.

Como esta superficie debe ser máxima, la función que vamos a optimizar es S(x) = x·(30 – x) = 30x – x².

Derivamos la función y la igualamos a cero:

S´(x) = 30 – 2x = 0; 30 = 2x; x = 15

Calculamos la segunda derivada de la función en x = 15:

S´(x) = - 2, para cualquier x

Por tanto, se cumple que S´(15) = 0 y S´´(15) < 0, lo que nos asegura que la función alcanza el máximo en x = 15. Y para este valor de x, se tiene que y = 30-15 = 15.

Luego el terreno de mayor superficie encerrada por la valla es un cuadrado de lado 15 m.