Áreas con Pick

Calcular el área de una figura en la que sus lados discurren por los puntos del geoplano es bastante sencillo, pero el ejercicio se complica si esto no es así. Para obtener la superficie encerrada por una figura en un geoplano cuadrado podemos utilizar una expresión llamada fórmula de Pick, que establece una relación entre los puntos del geoplano por los que pasan los lados de la figura, los puntos del geoplano que quedan dentro de ella sin tocar los lados y el área encerrada por la figura.

Así, si llamamos L al número de puntos por los que pasan los lados de la figura e I al número de puntos del geoplano encerrados en la figura sin tocar sus lados, tenemos que el área según la fórmula de Pick es:

Área = (L / 2) + I - 1

De esta forma, vamos a calcular el área de la siguiente figura del geoplano utilizando la fórmula de Pick. 

Contando los puntos que tocan los lados de la figura y los puntos interiores a ella que no tocan los lados, tenemos que L = 16 y que  I =  12, por lo que el área es:

Área = (16 / 2) + 12 - 1 = 19  unidades de superficie

Actividad

Utilizando la fórmula de Pick, calcula el área de la siguiente figura, que es el contorno de una región llana Centroafricana en la cual varios gobiernos, en colaboración con algunas ONGs, intentan crear un parque natural que proteja la biodiversidad y la fauna de la zona. El perfil de la zona se ha obtenido realizando una fotografía aérea y llevando después dicha fotografía sobre un geoplano cuadrado, donde la unidad de longitud es de 3000 metros.

Si cada guardia del parque puede cubrir como máximo una superficie de 8 km², averigua el número mínimo de vigilantes que son necesarios para llevar a cabo dicha vigilancia.

                                                                                                                    

 Solución

El número de puntos por los que pasan los lados es 8 y el número de puntos interiores es 16. Así, la superficie de la figura es:

S = 4+16-1= 19 unidades de superficie

Como la unidad de longitud es 3000 m, la unidad de superficie será 9·10⁶ m², de forma que la superficie del parque es:

19·9·10⁶ m² = 171·10⁶ m² = 171 km²

Si dividimos esta superficie entre los 8 km² que, como máximo, puede cubrir un vigilante, obtenemos que son necesarios 22 vigilantes como mínimo.