Ecuaciones de segundo grado.

Utilizando las transformaciones de equivalencia mencionadas anteriormente en la resolución de ecuaciones lineales, cualquier ecuación de segundo grado la podemos transformar en una equivalente que tenga la forma a x² + b x + c = 0, siendo a distinto de cero.

Las soluciones de una ecuación de la forma  a x² + b x + c = 0, se obtienen mediante la fórmula siguiente:

Demostración:

Tenemos que  a x² + b x + c = 0 y queremos encontrar los valores de x que cumplen la ecuación (sus soluciones).

Multiplicamos los dos miembros de la ecuación por 4a:

(a x² + b x + c)· 4a = 0· 4a

4 a² x² + 4 a b x + 4 a c = 0

Sumamos b² a los dos miembros:

4 a² x² + 4 a b x + 4 a c + b² = b²

Restamos 4ac a los dos miembros y, entonces tenemos un cuadrado perfecto en el miembro izquierdo:

4 a² x² + 4 a b x + 4 a c + b² – 4 a c = b² – 4 a c

4 a² x² + 4 a b x + b² = b² – 4 a c

(2 a x)² + 4 a b x + b² = b² – 4 a c

(2 a x + b)² = b² – 4 a c

Eliminamos el cuadrado de la izquierda extrayendo la raíz cuadrada en ambos miembros:

Finalmente, despejamos x:

Ejemplo:

Resolvamos la ecuación 3 x² – 3 x - 18 = 0.

Observamos que a = 3, b = - 3 y c = - 18.

Sustituimos estos valores en la fórmula anterior:

Así, las dos soluciones de esta ecuación son x₁ = (3 + 15)/6 = 3 y x₂ = (3 - 15)/6 = - 2.

La utilización de esta fórmula es la forma general de resolver cualquier ecuación de segundo grado. Sin embargo, algunas de las ecuaciones pueden resolverse sin necesidad de utilizarla. Es el caso de las que se llaman incompletas, aquellas en las que alguno de los coeficientes b o c es nulo.

Veamos cómo actuar en estos casos.

Si b = 0, la ecuación es de la forma a x² + c = 0. Y basta con despejar la incógnita para resolver la ecuación:

a x² = - c

x² = - c/a

Y las soluciones de la ecuación serían:

Si c = 0, la ecuación es de la forma a x² + b x = 0. En este caso, extraemos la incógnita como factor común:

x·(a x + b) = 0

Para que el producto de dos números sea nulo, alguno de ellos ha de serlo también. Por tanto, o bien es x = 0, o es a x + b = 0.

De aquí podemos deducir que las soluciones de la ecuación son x₁ = 0 y x₂ = - b/a.

Ejemplos:

a) Resolvamos 5 x² – 80 = 0.

En este caso, basta con despejar la incógnita:

5 x² – 80 = 0

5 x² – 80 + 80 = 0 + 80

5 x² = 80

 x² = 80/5 = 16

La soluciones de la ecuación son las raíces cuadradas de 16; es decir, x₁ = 4 y x₂ = - 4.

b) Resolvamos 8 x² + 72 x = 0.

Ahora extraemos la incógnita como factor común:

x·(8 x + 72) = 0

Las opciones posibles son x = 0, o bien 8 x + 72 = 0. Por tanto, las soluciones de la ecuación son x₁ = 0 y x₂ = - 72/8 = - 9.

Número de soluciones de una ecuación de segundo grado.

Se llama discriminante de una ecuación de segundo grado, de la forma  a x² + b x + c = 0, al valor de la expresión b² – 4 a c.

Si nos fijamos en la fórmula general de resolución de estas ecuaciones, observamos que el valor del discriminante determinará el número de soluciones de la ecuación. 

En efecto, si el discriminante es cero, las soluciones de la ecuación serán:

Se ve claramente que ambas son iguales y se dice que la ecuación tiene una solución doble.

Si el discriminante es negativo, no existe la raíz cuadrada de dicho valor en el conjunto de los números reales. Por tanto, la ecuación no tiene solución en el conjunto de los reales.

Si el discriminante es positivo, como en los reales existe siempre la raíz cuadrada de un número positivo, la ecuación tendrá dos soluciones reales distintas que son las siguientes: