Optimización

Se va a construir un depósito cilíndrico de aluminio para almacenar 2000 litros de agua. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que la cantidad de aluminio utilizada sea mínima?

Solución:

Si llamamos r al radio de la base y h a la altura del cilindro, sabiendo que su volumen debe coincidir con los 2000 litros de agua, obtenemos que:

Y de aquí, podemos despejar su altura:  h = 2000/πr²

La función que queremos minimizar es la superficie del cilindro, es decir:

S = 2 π r² + 2 π r h

Para que la función dependa de una sola variable, sustituimos la altura por la expresión despejada anteriormente:

Derivamos e igualamos a cero, en busca de extremos relativos:

Comprobamos si en este punto se alcanza un extremo, sustituyendo en la segunda derivada de la función:

Así, queda comprobado que la función alcanza un mínimo relativo en este valor de r. Y la altura correspondiente es:

Por tanto, el gasto en aluminio será mínimo si las dimensiones del depósito son:

(Puede observarse que la altura del cilindro coincide con el diámetro de su base)