Paralelas dos a dos

De dos rectas r y s sabemos que son paralelas, que r pasa por el punto P(1,5) y que s pasa por el punto Q(3,4).

Si además la distancia entre los puntos en los que las rectas cortan al eje de ordenadas es cuatro unidades de longitud, ¿cuáles son las ecuaciones de r y s?

Solución:

Al ser paralelas, ambas tienen la misma pendiente y podemos escribir sus ecuaciones de la forma siguiente:

r: y = m x + n

 s: y = m x + n´

Como P pertenece a la recta r, se cumple que 5 = m + n.

Como Q pertenece a la recta s, se cumple que 4 = 3 m + n´.

Sabemos, además, que la distancia entre R(0,n) y T(0,n´)es 4, lo que significa que n – n´= 4 o que n´- n = 4.

- En el primer caso, n = 4 + n´, y así tenemos el sistema siguiente:

Resolviendo este sistema, obtenemos que m = 3/2, n´= - 1/2 y, en consecuencia, n = 7/2.

Las ecuaciones de las rectas en este caso son:

- En el segundo caso, n´= n + 4, y así tenemos el sistema siguiente:

Resolviendo este sistema, obtenemos que m = - 5/2, n = 15/2 y, en consecuencia, n´= 23/2.

Las ecuaciones de las rectas en este caso son: