Problema 15

Piensa un número de tres cifras y escríbelo de nuevo a continuación, formando un número de seis dígitos. Dicho número será divisible por 13, por 11 y por 7. Demuestra porqué es así.

Solución:

Si abc es el número inicial, el de seis dígitos será abcabc. Hacemos la descomposición polinómica de este número:

abcabc = a·10⁵ + b·10⁴ + c·10³ + a·10² + b·10 + c =

= a·(10⁵ + 10²) + b·(10⁴ + 10) + c·(10³ + 1) =

= a·10²·(10³ + 1) + b·10·(10³ + 1) + c·(10³ + 1) =

= (a·10² + b·10 + c) · (10³ + 1) =

= abc ·(10³ + 1) = abc · 1001

Pero el número 1001 se descompone en factores como 1001 = 7·11·13, de donde se deduce que abcabc = 7·11·13·abc

Así, abcabc es divisible por 7, por 11 y por 13.