Optimización

Calcula el área máxima que puede tener un triángulo rectángulo tal que la suma de las longitudes de sus dos catetos vale 4 cm.

Solución:   

Llamamos x = 1^ercateto (base)
         y = 2º cateto (altura)

Se cumple que x + y = 4 y,  por tanto, y = 4 – x

La función área que hay que optimizar es: 

La derivada de dicha función es A´(x) = 2 - x

Igualamos a cero dicha derivada para calcular los posibles máximos o mínimos:

A´(x) = 0 ⇒2 - x = 0 ⇒ x = 2 posible máximo ó mínimo de la función.

Hallamos la 2ª derivada: A´´(x) = - 1

Sustituimos el posible máx. ó mín. en dicha derivada:

A´´(2) = - 1 < 0 , luego es máximo

 x = 2; y = 4 – 2 = 2 ⇒los dos catetos son iguales a 2 cm.

A(2) = 4 – 4/2 = 4 – 2 = 2, y así, el área máxima que puede tener el triángulo rectángulo es de 2 cm²