¿Puntos alineados?

¿Es posible que los puntos P(4, 1), Q(2, -2)  y  R(6, 5) pertenezcan a la misma recta?

Solución:

Para que los tres pertenezcan a la misma recta, el punto R debe pertenecer a la recta determinada por P y Q, ya que dos puntos del plano determinan una única recta que pase por ambos.

Hallamos la ecuación de dicha recta:

Su ecuación podemos escribirla en la forma y = m x + n.

Como P cumple su ecuación, obtenemos que 1 = 4 m + n.

Como Q cumple su ecuación, obtenemos que - 2 = 2 m + n.

Si restamos ambas ecuaciones, resulta que 3 = 2m, de donde despejamos m = 3/2.

Sustituimos este valor de m en la ecuación 1 = 4 m + n, con lo que se tiene 1 = 4·(3/2) + n, de donde despejamos n = - 5.

Hemos obtenido, de esta forma, que la recta que pasa por P y Q tiene como ecuación y = (3/2)x – 5.

Si sustituimos en la ecuación las coordenadas de R, vemos que R no la cumple. En efecto:

5 = (3/2)· 6 – 5 = 9 – 5 = 4, lo que es una contradicción

Por tanto, los tres puntos no pertenecen a la misma recta.