martes, 26 de mayo de 2015

Problema 110

En un triángulo´equilátero, dividimos cada lado en tres partes iguales, de tal forma que en la parte central de cada lado construimos un triángulo equilátero cuyos lados tendrán la misma longitud que la parte sobre la que hemos construido el nuevo triángulo. Este proceso lo puedes ver en el dibujo siguiente. 


a)Si el triángulo equilátero del que partimos tenía de perímetro 81, ¿cuál es el perímetro de la figura que hemos obtenido, y qué relación guarda con el perímetro del triángulo original?

b)Si ahora repetimos en la figura que hemos obtenido el proceso seguido con el triángulo original, obtenemos la figura que se muestra en el dibujo siguiente.


¿Podrías decir cuál es el perímetro de la nueva figura y qué relación tiene con la figura de la que la hemos obtenido?, ¿qué relación tiene el perímetro de esta figura con el del triángulo inicial?

c)Repite el proceso seguido anteriormente en esta última y consigue la figura siguiente, ¿qué perímetro tendrá la figura que has conseguido?, ¿qué relación guarda con el perímetro del triángulo inicial?

d)Si el triángulo original del que partimos tiene de perímetro P, ¿cuál será el perímetro de la figura que conseguimos al repetir el proceso ocho veces?¿ y si repetimos el proceso n veces?

Solución:

a)El perímetro de la nueva figura es 108, ya que cada lado mide 9 centímetros. La relación que guarda con el perímetro del triángulo original es: 108 = (4/3) · 81

b)El perímetro de la segunda figura es 144, ya que tiene 48 lados de 3 centímetros de longitud. Este perímetro es 144 = (4/3)2 · 81

c)El perímetro de la figura construida, siguiendo este proceso, será de 192 centímetros, ya que tiene 192 lados de 1 centímetro de longitud.

La relación que existe entre este último perímetro y el del triángulo inicial es: 192 =  (4/3)3 · 81

d)Partiendo de un triángulo de perímetro P, si repetimos este proceso ocho veces, su perímetro verifica: P8 = (4/3)8 · P

Si repetimos el proceso n veces, a partir de un triángulo de perímetro P, tenemos que su perímetro es: Pn = (4/3)n · P

1 comentario:

  1. Muy buen ejercicio, como todos los que se proponen en este magnífico blog.
    Permíteme Felicidad, ya que la construcción que se trabaja en este problema es el copo de nieve de Koch o estrella de Koch, que lo complemente con esta entrada que en su día escribí en mi blog y en la que se habla de dicha curva fractal y de otras construcciones interesantes. Creo que es bastante interesante. Aquí dejo el enlace:
    http://matematicascercanas.com/2014/09/21/finitos-infinitos-o-nulos-por-que-no/
    Un saludo.

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